Splajnová interpolácia

Na stránke SHMÚ nájdeš klimatologické mapy Slovenska. Hovoria o priemernej teplote, zrážkach, či vyparovaní vlahy zo zeme. Nie je to predpoveď toho, aká bude teplota alebo zrážky v budúcnosti. Sú to mapy aktuálneho stavu a stavu v blízkej minulosti (ako to vyzeralo v predošlom mesiaci).

Existuje veľa oblastí, pre ktoré sú tieto údaje dôležité. Napríklad vodohospodári na základe nich regulujú vodné nádrže, poľnohospodári sú informovaní o vlahe v pôde, hasiči vedia, že posledné dni je veľmi sucho a tak hrozia požiare, alebo mestá vedia podľa toho navrhnúť, kde je najlepšie vysadiť nejakú tú zeleň.

Po území Slovenska je umiestnených veľa meteorologických staníc merajúcich teplotu, zrážky, vlhkosť vzduchu, silu vetra a ďalšie meteorologické veličiny. Dozvedieť sa klimatologické podmienky v ich okolí nie je ťažké. No predstav si, že si predseda družstva, máš siať na poliach pod Rakycami, ale nevieš či tam dať niečo, čo má rado sucho alebo vlhko. Rád by si si pozrel aká je po zime vlhkosť pôdy, ale stanice sú ďaleko a ty nemáš informácie.

Našťastie pre teba je tu matematika, ktorá ťa zachráni. Pomocou nej sa dajú dosť dobre odhadnúť hodnoty veličín aj na miestach, kde nie sú namerané. Z týchto odhadov sa spraví klimatologická mapa, ty sa na ňu pozrieš a vieš, čo máš pod Rakycami zasadiť.

Jeden zo spôsobov, ako robiť odhady je interpolácia a tú si teraz ukážeme. Aby to nebolo iba nudné čítanie, nachystali sme ti taký malý príkladíček s teplotou, ktorý môžeš s nami rátať. Sľubujeme, že je to veľmi zjednodušený príklad, aby si sa vyhol ohavnej matematike, ktorá tam v realite na človeka striehne. Celý nasledovný článok je taká úvaha, ako sa k danej metóde výpočtu dostaneme, tak sa nezľakni, keď miestami odbočíme.

Interpolácia

Ako sme už vyššie spomenuli, interpolácia sa používa na odhadovanie chýbajúcich hodnôt. Údaje môžu chýbať medzi nameranými veličinami, no takisto ich môže byť treba odhadnúť mimo rozsahu nameraných hodnôt. Preto si v krátkosti predstavíme dva pojmy - interpoláciu a extrapoláciu. Extrapoláciou sa zaoberať nebudeme. Vo zvyšku článku sa povenujeme iba interpolácii.

Predstav si, že od rána 8:00 do večera 19:00 meriaš každú hodinu teplotu. Teraz chceš zistiť teplotu o 12:30. Tú nameranú nemáš, takže to musíš odhadnúť. Aby to bolo presnejšie ako číslo, ktoré si len tak vymyslíš, treba to nejak zrátať. Presne na toto slúži interpolácia. Ona slúži na to, aby sa čo najviac presne dali určiť hodnoty medzi nameranými hodnotami. Extrapolácia je zasa metóda, pomocou ktorej sa určuje hodnota, ktorá už nie je v rámci nameraných údajov. Extrapoláciu by si použil, keby chceš vedieť teplotu o 19:53.

My sa budeme baviť ďalej iba o teplote, ale v skutočnosti môžeš interpolovať hocičo. Napríklad geodeti interpolujú nadmorskú výšku alebo v počítačoch sa niekedy takto dopočítava farba pixelov.

Ďalej sa budeme zaoberať už iba interpoláciou. Existuje viacero spôsobov, ako zinterpolovať hodnotu medzi bodmi. Najjednoduchšia je lineárna interpolácia. To sa z údajov vypočíta lineárna funkcia a hodnoty sa určujú podľa nej. Problémom je, že je to dosť nepresné, pretože nie všetky namerané údaje ležia na nej.

Iný spôsob interpolácie je polynomiálna interpolácia. Pri nej sa hľadá polynóm, o stupeň menší, ako je údajov (keď je napr. 10 údajov, tak polynóm bude stupňa 9). Táto funkcia už dokáže trafiť namerané body, no nevýhoda je, že okolo nameraných bodov začne robiť blbosti (osciluje okolo nich).

Spôsob, ktorý rieši tieto problémy sa nazýva splajnová interpolácia. Funguje to tak, že na tie namerané hodnoty akokeby spustíš gumovú hadicu. Ona ostane zavesená na tých nameraných údajoch, ale sa tak jemne poohýba. Tvrdosť alebo mäkkosť hadice sa dá regulovať. Od toho závisí, ako veľmi bude pri nameraných bodoch ovísať.

Od tohto poetického opisu splajnovej interpolácie poďme k matematike. V praxi to funguje tak, že sa zo susedných bodov spraví nejaká funkcia a tá je definovaná na intervale medzi týmito bodmi. Môže to byť napríklad polynóm prvého, druhého alebo tretieho stupňa (teda lineárna, kvadratická alebo kubická funkcia). Najčastejšie to býva polynóm tretieho stupňa, pretože pri ňom sa výsledná funkcia najlepšie približuje k údajom a je čo najhladšia, hlavne na zlomoch. Pretože keď sa to robí napríklad lineárnou funkciou, tak sa to na nameraných bodoch prudko mení. No svet tak nefunguje. Medzi teplotami o 11:59 a 12:01 nie je veľká zmena.

Naozajstný problém

Ak ťa už z tohto bolí hlava, tak sa bež na chvíľu prejsť na vzduch lebo toto bol len začiatok 😊. Skutočný problém, ktorý sa musí riešiť, je trochu zložitejší. Predstav si naše Slovensko. Po rôznych miestach na ňom sú rozostavané meteorologické stanice merajúce teplotu a iné rozličné veci. Aby sme sa na každom kroku o ne nepotkýnali, nie sú zas nastavané každé dva metre. No teplotu chceme vedieť na hociktorom mieste medzi nimi.

V naozajstnej praxi by sme dostali zoznam meteorologických staníc, ich polohu a nameranú teplotu. Zobrali by sme zemepisnú šírku, zemepisnú dĺžku a nadmorskú výšku každej stanice a snažili sa nájsť funkciu, ktorá by uhádla nameranú teplotu nielen na každej stanici, ale aj na akomkoľvek mieste medzi nimi.

Táto funkcia sa tiež nazýva splajnová, ale funguje inak ako splajnová funkcia spomenutá vyššie. Podobné sú iba v tom, že obe funkcie chcú čo najlepšie trafiť namerané hodnoty a zároveň byť čo najhladšie.

Pri teplote nameranej každú hodinu bolo ľahké povedať, že teplota o 13:16 bude medzi teplotami o 12:00 a 14:00. Pri viacrozmerných vstupných údajoch je už problém nájsť dvoch susedov, pretože ktorí z nich sú tí správni? Ktoré sú tie dve dediny, ktoré susedia so Sásou? Pliešovce a Bzovská Lehôtka alebo Babiná a Dobrá Niva? Či Pliešovce a Dobrá Niva? Ťažko určiť. Preto splajnová funkcia vo viacrozmernom priestore funguje inak a s tou, čo sme si vysvetlili má spoločné len meno a to, že chce čo najlepšie trafiť údaje a byť čo najhladšia.

Hľadanie najdokonalejšej funkcie

Najdokonalejšia funkcia, akú vieme dostať musí teda spĺňať dve kritériá. Musí čo najlepšie trafiť údaje a byť čo najhladšia. Hľadanie tej pravej, dokonalej ❤ funkcie sa v matematike nazýva variačný problém. Ide o to, nájsť funkciu, ktorá bude čo najlepšie spĺňať obe podmienky.

$$ \sum_{j=1}^{N}(z_j - S(x_j))^2 \, w_j \;+\; w_0 \, I(S) \;=\; \min $$

Tento problém našťastie už vyriešili pred nami. Vyšla im z toho funkcia, o ktorej si teraz povieme. Na svojom vstupe berie troj a viacrozmerné údaje a to je príliš komplikované na vysvetľovanie. Preto si problém zľahčíme. Prenesieme sa do sveta iba 1D vstupných údajov.

"Nameranie" údajov

Príklad treba na niečom vysvetliť, tak sme od rána do večera každú hodinu merali teplotu. Zaujímala by nás však aj teplota medzi meraniami. Tú nemáme a tak si ju skúsime dopočítať splajnovou interpoláciou.

Teraz ti prezradíme veľké tajomstvo, ale nikomu to nehovor 😉. Teplotu sme v skutočnosti nemerali, ale na jej nasimulovanie sme použili kvadratickú funkciu.



My sme použili nasledovnú funkciu: $f(x) \;=\; -0.1\,x^2+0.5\,x+20$. Pripočítali sme k nej aj náhodné čísla od 0 po 2, aby sme vniesli trochu šumu do údajov. Veď ani naozajstná teplota nesleduje kvadratickú funkciu do bodky presne.

Prvý pokus o interpoláciu

Ideme dať prvý pokus o dopočítanie údajov medzi nameranými hodnotami. O 10:00 je nameraných 10°C a o 11:00 bude teplota 20°C.



Všimni si, že výsledná teplota v bode, v ktorom ju rátame, závisí od toho, ako ďaleko je daný bod od bodov s nameranými hodnotami. Keď bol bližšie k 10:00, viac teploty sa bralo z 10:00 a keď bol bližšie k 11:00, viac teploty sa bralo odtiaľ.

O 12:00 teplota klesne na 16°C.



Spôsob, ktorým si teraz rátal teploty sa nazýva lineárna interpolácia. Mal by si z toho dostať nejaký takýto graf:

Zjemnenie prechodov medzi nameranými bodmi

O 11:00 vidíš, ako sa teplota láme. Rozdiel medzi teplotami o 10:59 a o 11:01 je pomerne veľký. V krátkom časovom okamihu sa teplota v reálnom svete mení viac plynulo. Navyše teplota sa dá vyskladať iba z dvoch susedných bodov. V budúcnosti sa to stane problémom, lebo teplotu budeme rátať z viacerých susedov.

Prechod chceme plynulejší a do výpočtu chceme brať viacero susedov. Vedci zistili, že je fajn dávať vzdialenosť medzi bodmi do funkcie $e^{-r^2}$. Za písmenko $r$ sa dosádza absolútna hodnota vzdialenosti medzi bodmi.

Odbočka - násobenie funkcií

Už vieš, ako vyrátať hodnoty funkcie $e^{-r^2}$. Teraz si trochu odskočíme a pozrieme sa na to, ako vzájomné násobenie funkcií ovplyvňuje ich tvar. Chceme ti tým ukázať, že keď sa na vzdialenosti použije funkcia $e^{-r^2}$, tak ovplyvní tvar výslednej splajnovej funkcie.

Na ukážku použijeme jednoduchú lineárnu funkciu $y=r$. Jej hodnoty sa prenásobia hodnotami funkcie $e^{-r^2}$. Prv než si to pozrieš na grafe, skús si pár hodnôt vyrátať.

Problém pri viacrozmerných údajoch

Pri viacrozmernom vstupe narazíme na problém. Na obrázku má Dobrá Niva 25°C. Okrem nej sú tam aj ďalšie dediny s nameranou teplotou a váhou, ktorou prispievajú do teplôt ostatných dedín. Každá dedina samozrejme prispieva sama sebe 100% teploty, čiže sama so sebou má tento násobok 1. Ak by sme pomocou nich chceli vyrátať teplotu v Dobrej Nive, mala by nám vyjsť tiež 25°C, nie?

Ak ti vyšla teplota 77.6°C, nie je to tým, že v Dobrej Nive pálili pneumatiky a úplne si zničili klímu. Nesprávny je spôsob, akým sa rátala výsledná teplota:

Vedci našli spôsob, ako sa vyhnúť tomuto problému. Namiesto nameraných teplôt treba nájsť iné čísla, a to také, že keď sa vynásobia s váhou, tak dajú dokopy nameranú teplotu. Tieto čísla sú neznáme a treba ich vyrátať. Od vedcov dostali označenie gréckym písmenom lambda $\lambda$. Jednotlivé čísla sú označené ako $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n$.



To neznáme číslo $\lambda$ tu slúži ako niečo, čo zachytáva správanie údajov. Pohľadali sme také čísla, ktoré spolu s váhami vzdialeností dávajú namerané teploty.

Trendová funkcia

Lenže to nie je všetko. Náš príklad je príliš jednoduchý a tak lambda jednoducho zachytí trend. Na Slovensku je veľa meteorologických staníc a tak lambda sa nemusí naučiť všetko a potom bude dávať zlé výsledky. Preto jej pomôžeme niečím, čo sa volá trendová funkcia.

Na nameraných teplotách si môžeš všimnúť, že majú akýsi trend/tendenciu vo všeobecnosti nejako rásť či klesať. Naše do obeda rastú a po obede klesajú.

Tento trend sa odhadne jednoduchým polynómom, lineárnym, kvadratickým alebo kubickým.



Takto to vyzerá na našich údajoch.

Vidno, že údaje sú menej rozptýlené a tak sa lambda má menej učiť. V skutočnosti teda neriešime rovnice $$ \begin{aligned} v_{11}\lambda_1 + v_{12}\lambda_2 + \cdots + v_{1n}\lambda_n &= z_1 \\ v_{21}\lambda_1 + v_{22}\lambda_2 + \cdots + v_{2n}\lambda_n &= z_2 \\ \vdots \\ v_{n1}\lambda_1 + v_{n2}\lambda_2 + \cdots + v_{nn}\lambda_n &= z_n \end{aligned} $$ V správnom riešení sa od nameraných hodnôt odčíta trendová funkcia $$ \begin{aligned} v_{11}\lambda_1 + v_{12}\lambda_2 + \cdots + v_{1n}\lambda_n &= z_1-T(x_1) \\ v_{21}\lambda_1 + v_{22}\lambda_2 + \cdots + v_{2n}\lambda_n &= z_2-T(x_2) \\ \vdots \\ v_{n1}\lambda_1 + v_{n2}\lambda_2 + \cdots + v_{nn}\lambda_n &= z_n-T(x_n) \end{aligned} $$ Minule sme pri rátaní $\lambda$ nepoužili trendovú funkciu, tak si $\lambda$ vyrátame ešte raz, už aj spolu s ňou.



Trendovú funkciu musíme ale znovu prirátať a tak výsledný model bude mať nasledovnú podobu:

P.S.: skús si zodpovedať otázku, že prečo sa tá trendová funkcia musí prirátať naspäť?

$$ S(x) \;=\; T(x)+\sum_{j=1}^{N}\lambda_j\,R(x,x_j) $$

Odhadovanie teplôt

Overené je a funguje to. Teraz už môžeme model použiť na odhadovanie teplôt v akomkoľvek čase medzi 10:00 a 12:00. Vyráta sa vzdialenosť medzi časom a každým nameraným bodom. Tieto vzdialenosti sa prejdú funkciou $e^{-r^2}$ a prenásobia sa vyrátanými lambdami. Teplota v danom bode je hotová.





To je už všetko. Musíš si nájsť nejaké nové príklady na počítanie. Ak po tomto článku nevieš dokonale rátať splajnovú interpoláciu a sem-tam sa našla drobnosť, ktorej si nerozumel, nevadí. Pointou bolo ukázať využitie funkcií v reálnom živote.

Budeme radi, ak si odnesieš poznanie, že tie pochabosti, ktoré sa musíš učiť, nie sú úplne na nič. Nepriamo sa s nimi stretávaš denne, či už pri pozeraní počasia, dopestovanom jedle alebo pri zabránených požiaroch, ktoré mohli prepuknúť a neprepukli. Možno sa raz stretneš s nimi aj priamo, ako človek tvoriaci potrebné podklady pre ďalších ľudí. Dúfame, že si si užil matematiku v praxi, a že sme ťa nepotrápili veľa, ale len tak trošku.😊

Zdroje